作者：吴亚玲　廖春艳 本文字数：2547
　　 [摘           要]  级数敛散性的判定是数学分析课程中的重要内容和教学难点，通过实例讨论函数满足二阶导数且通项中带f（）形式的一类级数的敛散性判定.
　　 [关    键   词]  二阶导数;级数;敛散性
　　 [中图分类号]  G642                       [文献标志码]  A                [文章编号]  2096-0603（2019）34-0026-02
　　 一、定理及推论
　　 本文主要讨论满足二阶导数的级数敛散性判定，重点分析通项中带f（）的敛散性判定.
　　 定理（二阶导数判定定理） 设函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则级数f（）收敛的充要条件是f（0）=f'（0）=0.
　　 证明（必要性）假设函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且级数f（）收敛.因为函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则f（x）在x=0的领域内是连续的，则由级数收敛的必要条件，f（）=0=f（0），又f'（0）==，假如极限值为非零的实数，即f'（0）≠0，则由级数的极限审敛法，级数f（）发散，同假设矛盾，所以f'（0）=0.
　　 （充分性）设f（0）=f'（0）=0成立，因为函数f（x）在x=0处具有二阶导数，则由Taylor展开式
　　 f（）=f（0）+f'（0）（-0）+（-0）2+0（），
　　 故f（）=f'（0）+0（），故f（）-f''（0），n→∞，故f（）收敛.
　　 我们也可将这个结论做一定的推广：
　　 推论 设f（x）在R上具有直到n+1阶导数且f'（x）≠0，则级数[f（）-f（0）]发散，[f（）-f（0）-f'（0）].
　　 二、相关应用
　　 有了这个定理，在证明通项为f（）形式的级数敛散性的结论时可以考虑直接利用定理的结论.例如以下类型的题目：
　　 例1 （1）（arcsin-）;（2）[+lnn-ln（n+1）];
　　 解：（1）不难观察，级数的通项中为f（）形式，其中f（）=arcsin-，f（x）=arcsinx-x，f'（x）=-1，.函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且f（0）=f'（0）=0，由二阶导数判定定理可证，级数收敛.
　　 （2）通过简单的化简，可以将级数的通项化成f（）形式，其中f（）=+lnn-ln（n+1）=+ln，f（x）=x-ln（1+x），f'（x）=1-，f''（x）=，故函数f（x）在x=0处具有二阶导数，且f（0）=f'（0）=0，由二阶导数判定定理，知级数收敛.
　　 读者也可自行利用二阶导数判定级数的敛散性定理证级数（-1）n（1+-]及的敛散性.
　　 在一些考研和竞赛题中，也经常会出现此类题目，但是需要给出完整的证明，我们可以借助证明定理的方法来证明此类题目.
　　 例2 设函数f（x）在x=0处具有二阶连续导数，且有=0，证明级数收敛且f（）绝对收敛.
　　 证明 因为=0，故f（x）=0=f（0），且f'（0）==0，将函数f（x）在x=0处二阶泰勒展开，为f（x）=f（0）+f'（0）（x-0）+（x-0）2+0（x2）.
　　 故f（）=f'（0）+0（），有-f''（0），f（）-f''（0），n→∞，则收敛且f（）绝对收敛.
　　 例3 设函数f（x）二阶可导，且有f''（0）>0和=0，求级数f（）xn的收敛域.
　　 解：令an=f（），类似例2的证明，可知f（0）=0，
　　f'（0）=0，于是=====.
　　 注 若无条件“函数f（x）在x=0处具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：f（x）=.
　　 因为函数f（x）在x=0处不具有二阶连续导数，且
　　 f（）==，
　　 又≥>，故发散.
　　 在一些题目中，虽然通项中能建立y（）的表达式，但是给出的条件并不能满足二阶导数判定定理的条件，，这时候需要进一步分析给出的条件，挖掘其中蕴含的条件，利用证明定理的方法类似去证明.
　　 例4 已知函数y=y（x）满足等式y'=x+y，且y（0）=1，讨论级数[y（）-1-]的敛散性.
　　 解：因为y'=x+y，所以y''=1+y'.由y（0）=1得y'（0）=1，y''（0）=2，由函数y=y（x）的二阶Taylor展开式
　　 y（）=y（0）+y'（0）++0（），
　　 知y（）-1-在当n→∞时与等价.因级数收敛，故原级数必收敛，且是绝对收敛.
　　 题设条件蕴含y'（0）=1，y''（0）=2，从而可将函数y=y（x）在x=0处展开成二阶Taylor展开式，建立y（）的表达式.
　　 参考文献：
　　 [1]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.
　　 [2]陈兆斗，黄光东，赵琳琳，等.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京：清华大学出版社，2015.
　　 [3]同濟大学数学系.高等数学（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
　　◎编辑 冯永霞

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