[摘 要] 数学解题教学是数学教学过程中至关重要的一环，面对基础不一、众口难调的学生，在圆的标准方程复习课上，以多题一法为主线，一题多解为分线，进行了一次双线流解题教学的尝试。
　　[关 键 词] 多题一法；一题多解；待定系数法；圆的标准方程
　　[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）08-0153-01
　　数学解题教学是数学教学过程中至关重要的一环，比较常见的是一题多解，它可以让学生多方位、多角度地去思考问题，培养学生的发散性思维。然而现实中我们既有基础扎实的学生，又有学业薄弱的学生，太强调发散思维的重要性容易忽视对聚合思维的培养。有学生跟我说：“老师，你一节课讲了那么多方法，我来不及记，能不能只用一种方法就解决很多问题啊。”“是啊，凡事都能来个‘一剑破万法’的绝招，该多开心啊。”
　　为此，笔者在圆的标准方程的复习课上，以多题一法为主线，一题多解为分线，进行了一次双线流解题教学的尝试。
　　这主线的一法是待定系数法，它是一种重要的数学思维方法，也是一种常见的解题技巧。要了解一个问题是否适用待定系数法来求解，主要关键是看能否根据已知条件，正确列出含一些特定系数的等式或方程。而圆的标准方程恰好符合该条件。
　　通过对（x-a）2+（y-b）2=r2的剖析可以发现，该方程中分别含有三个待定字母参数a，b，r，只要能根据已知条件列出参数方程，再代入相关条件，即可求出剩下的参数，这样就能求出圆的标准方程了。
　　主线一法解多题，分线发散多法解。笔者抓住待定系数法这一主线，由易到难，层层递进地设计了三道例题。引导学生解一题通一类题，多题归一解，有助于学生聚合思维能力的养成，促成高效教学，让学力不足的学生跟上来。而每一例题的教学，又开展一题多解的训练，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的发散思维能力，实现有效教学，让学有余力的学生也能吃饱。
　　例1.求以点（-2，5）为圆心，并且过点（3，-7）的圆的标准方程。
　　主线解一：由圆心（-2，5），可设圆的方程为（x+2）2+（y-5）2=r2
　　点（3，-7）代入，得（3+2）2+（-7-5）2=r2
　　∴r2=169
　　∴圆的标准方程为（x+2）2+（y-5）2=169。
　　分线解二：由圆上一点到圆心的距离是半径，直接求r。
　　r=■=13
　　∴圆的标准方程为（x+2）2+（y-5）2=169。
　　例2.已知点A（4，3）、B（6，-1），若以线段AB为圆的直径，求出该圆的标准方程。
　　主线解一：先求圆心坐标，即AB中点为（■，■）=（5，1），
　　可设圆的标准方程为（x-5）2+（y-1）2=r2
　　取点A（4，3）代入，得（4-5）2+（3-1）2=r2
　　r2=5
　　∴圆的标准方程为（x-5）2+（y-1）2=5。
　　分线解二：先求圆心（5，1）
　　r=■=■
　　∴圆的标准方程为（x-5）2+（y-1）2=5
　　分线解三：先求圆心（5，1）
　　直径d=■=2■
　　r=■
　　注意不要將直径d当作r代入圆的方程。
　　∴圆的标准方程为（x-5）2+（y-1）2=5。
　　例3.已知经过点P（-2，4）和点Q（0，2），并且圆心在直线x+y=0上，求出圆的标准方程。
　　主线解一：圆心在直线x+y=0，设圆心（a，-a）
　　则圆的标准方程为（x-a）2+（x+a）2=r2
　　点P（-2，4）和点Q（0，2）代入，
　　则（-2-a）2+（4+a）2=r2 （1）（0-a）2+（2+a）2=r2 （2）
　　得：a=-2，r2=4；
　　∴圆的标准方程为（x+2）2+（x-2）2=4。
　　分线解二：圆上的点到圆心的距离等于半径，设圆心（a，-a），
　　则■=■
　　得：a=-2 ∴r2=4
　　∴圆的标准方程为（x+2）2+（x-2）2=4。
　　一题多解的发散思维和多题一法的聚合思维是两种互逆的解题思维方式，在解决数学问题中都具有重要的地位。面对基础不一、众口难调的学生，我们教师需要创新精神，因材施教，灵活地运用各种方法，优化解题教学，尽量让每个学生都有提高。
　　参考文献：
　　[1]顾凤.待定系数法在数学问题中的应用[J].中学生数理化（学研版），2014（9）.
　　[2]王海青.深入浅出，触类旁通[J].中国数学教育（高中版），2016（4）.  

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