[摘 要] 《线性代数》是高校理工科学生的必修公共基础课，内容涉及矩阵、向量、线性方程组求解、特征值与特征向量、二次型等。在有限的学时下，传统的教学方法主要是从概念和方法上进行抽象的讲解。针对《线性代数》的当前教学现状，结合软件Matlab实现《线性代数》教学，提出四点改进的教学方法，采用“理论教学—Matlab仿真—程序强化”的教学手段，以增强大学生对理论知识的理解和操练计算机的程序编写。
　　[关 键 词] 線性代数；Matlab；程序；仿真；教学
　　[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）19-0066-02
　　当前，线性代数课程既是国内外高等学校理、工、管、农类专业的公共基础课程，例如，计算机科学与技术、电子科学与技术、软件工程、机械制造及其自动化等，也是全国硕士研究生入学考试“高等数学”的重要组成部分。作为大学数学课程的一个分支，《线性代数》以研究矩阵、向量、向量空间（或称线性空间）、线性变换、线性方程组求解、二次型等为主要内容。由于非线性模型通常可以被近似为线性模型，因此，《线性代数》不仅具备了纯数学的高度抽象性，还被具体地、广泛地应用于自然科学和社会科学的研究中。美国著名的数学教育家、美国国家《线性代数》课程研究小组核心成员、数学课程现代化的倡导者David C. Lay教授曾经说过：“《线性代数》课程是最有趣、最具价值的大学数学课程”[1][2]。
　　21世纪是信息的时代，科学技术的发展在某种程度上要依靠强大的数学理论支撑。《线性代数》内容是其他数学类课程的重要基础成分[3]，如，《微分方程》《计算机图形学》《金融工程》《概率论与数理统计》和《最优化》。特别地，在经济、管理、海洋、气象和金融等专业中，许多实际问题都要转换为多变量的数学优化模型，如“公交车调度”“产品销售”“货币管理”和“农作物栽培”等，而求解这些实际模型必须以《线性代数》为基础，才能得到最优状态。因此，线性代数的教学方法研究具有重要的意义。
　　针对我校《线性代数》的教与学现状以及该课程本身所固有的特点，本文提出结合软件Matlab实现的《线性代数》教学方法研究。结合我校人才培养目标，以提高学生的学习积极性、增强学生学习兴趣和注重实际操作能力为目的，以有效避免纯数学的理论性和单调性，建立与Matlab程序实现的创新式教学。以下提出四点关于《线性代数》的教学研究：
　　一、向量与矩阵的可视化教学
　　矩阵是由若干行和若干列所组成的数表[4]，例如，公式（1）给出了一个3×4矩阵A：
　　A=202 132 34 7973 56 110 6628 250 30 87（1）
　　特别地，如果只有一行（列）的矩阵，我们称之为行（列）向量，并用小写字母表示。然而，如果只停留在这抽象的概念上进行教学，学生会觉得其在生活的作用不大。而Matlab刚好是可视化实现的强有力工具，将Matlab结合到矩阵与向量的教学中，可以使学生对《线性代数》的学习更有兴趣。例如，我们在讲解了矩阵之后，给了个512×512的彩色辣椒图（如图1所示），利用Matlab软件进行imread读取，得到R，G，B三个信道的大小为512×512的矩阵P1，P2，P3。通过可视化的效果增强学生对矩阵及应用的认识，同时，消除“纯数字”的抽象概念教学。
　　■
　　图1 彩色辣椒
　　P1=101 140 … 120123 191 … 115■ ■ ■ ■93 119 … 198512×512，
　　P2=0 0 … 00 96 … 192■ ■ ■ ■0 79 … 200512×512，
　　P3=0 142 … 1810 46 … 85■ ■ ■ ■0 36 … 171512×512（2）
　　二、线性方程组的求解及Matlab实现
　　线性方程组的求解是《线性代数》里的一项重要内容，求解结果包括：（1）无解；（2）有唯一解；（3）无穷多解并求通解。若将Matlab应用到线性方程组的求解将能有效避免繁琐的计算和分析过程，提高学生的学习兴趣。另外，将能引起学生的好奇心并实现与Matlab求解一样的结果。特别是清楚解析解与数值解的差异。如下列方程[4]：
　　x1+x2+2x3-x4=02x1+x2+x3-x4=02x1+2x2+x3+2x4=0（3）
　　传统求解方法为（初等变换）：
　　1 1 2 -12 1 1 -12 2 1 2→1 0 0 4/30 1 0 30 0 1 -4/3，得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（4/3，-3，4/3，1）′，其中k为常数。
　　而在Matlab软件中，可以直接调用rref命令，如下：
　　>>C=[1 1 2 -1；2 1 1 -1；2 2 1 2]；%回车
　　>>D=rref（C） %回车
　　>>D=1 0 0 -1.333
　　0 1 0 3
　　0 0 1 -1.333
　　由此即得方程组的解为：（x1，x2，x3，x4）′=k（1.333，-3，1.333，1）′，其中k为常数。而这里，1.333恰好是Matlab在format short环境下的4/3的值。若在输入矩阵C前，设置format rat格式，则将保留分数4/3而不进行四舍五入，并与解析解完全一致。这样，学生不仅了解了应用Matlab可以解决大型的线性方程的求解问题，还可以进一步了解近似解在工程上的意义与应用。
　　三、特征值与特征向量的教学
　　在《线性代数》课程教学中，对方阵B的特征值与特征向量的求解步骤一般为：先通过计算多项式方程λI-B=0求出特征值，再代入方程组（λI-B）x=0求出特征向量x。如果矩阵的阶数大，那么计算起来也是比较繁琐的，会造成学生的兴趣低下。现结合Matlab软件中的eig命令来计算矩阵的特征值与特征向量，例如，求矩阵B=2 3 43 5 74 7 11的特征值与特征向量的程序如下：

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