[摘           要]  给出同余式的一个简单的性质及其证明.我们知道，如果a≡b（modm），则有an≡bn（modm），这里n∈N.也就是说，同余式的两边同时可乘n次方幂.给出a≡b（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论.
　　[关    键   词]  同余式;整除;正因数;n次方幂
　　[中图分类号]  G642              [文獻标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2020）10-0096-02
　　 初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。整除理论是初等数论的基础，它是在带余数除法的基础上建立起来的.数学上，若两个整数除以同一个整数后得相同的余数，则称这两个整数为同余.同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法.最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯.同余理论是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简单的.
　　 一、基本性质
　　 在文献中给出同余的许多性质.若a≡b（modm），则有an≡bn（modm），这里n∈N.这就是说，同余式的两边同时可乘n次方幂.本文给出a≡b（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论.
　　 定义[1][2]：设a，b∈Z，m∈N，如果m|a-b，则称a和b对m模同余，记作a≡b（modm）.
　　 根据定义下面四个命题是等价的：
　　 1.a≡b（modm），即a和b对m模同余;
　　 2.m|a-b，即a和b的差被m整除;
　　 3.用m除a和b的余数相同;
　　 4.a=mk+b，k∈Z或b=ml+al∈Z.
　　 同余式有很多性质，下面是其中几个：
　　 性质1 若a≡b（modm），c≡d（modm），则
　　 （1）a±c≡b±d（modm）;
　　 （2）ac≡bd（modm）.
　　 性质2 若a≡b（modm），则an≡bn（modm），其中n∈N.
　　 这就是说，同余式a≡b（modm）的两边同时可乘n次方幂.
　　 性质3 若ac≡bc（modm），（c，m）=1，则a≡b（modm）.
　　 性质4 若ac≡bc（modm），（c，m）=d，则a≡b（mod）.
　　 性质5 若a≡b（modm），t是m的一个正因数，则a≡b（modt）.
　　 性质6 若a≡b（modm），，且c>0，则ac≡bc（modmc）.
　　 二、主要结果
　　 下面给出同余式a≡b（modm）的两边可乘不同方幂的有关结论及其证明.
　　 定理1 若a≡b（modm），c≡d（modm），at≡1（modm），其中t是m的一个正因数，c，d∈N，则ac≡bd（modm）.
　　 证明：由c≡d（modm）得c=mk+d，k∈Z.另一方面，由at≡1（modm）得am≡1（modm），从而ac≡amk+d≡（am）kad≡ad（modm），又因为a≡b（modm），有ad≡bd（modm），故ac≡bd（modm）.  证毕.
　　 例1：设17≡5（mod12），2020≡4（mod12），172≡1（mod12），？圯172020≡（172）1010≡1（mod12），且54≡1（mod12），故172020≡54（mod12）.
　　 推论1 若a≡b（modm），c≡d（modm），am≡1（modm），其中c，d∈N，则ac≡bd（modm）.
　　 证明：由c≡d（modm）得c=mk+d，k∈Z.从而有ac≡amk+d≡（am）kad≡ad（modm），又因为a≡b（modm），有ad≡bd（modm），故ac≡bd（modm）.    证毕.
　　 例2：设5≡23（mod6），2020≡4（mod6），56≡1（mod6），？圯52020≡（56）33654≡54（mod6），且54≡234（mod6），故52020≡234（mod6）.
　　 推论2 若a≡b（modm），c≡d（mods），as≡1（mods），其中s是m的正因数，c，d∈N，则ac≡bd（mods）.
　　 证明：由c≡d（mods）得c=sk+d，k∈Z.从而有ac≡ask+d≡（as）kad≡ad（mods），又因为a≡b（modm）？圯a≡b（mods），有ad≡bd（mods），故ac≡bd（mods）.    证毕.
　　 例3：设5≡17（mod12），2020≡4（mod6），56≡1（mod6），？圯52020≡（56）33654≡54（mod6），且5≡17（mod12）？圯5≡17（mod6），？圯54≡174（mod6），故52020≡174（mod6）.
　　 上面给出同余式的两边可乘不同方幂的有关结论.另外，在文献[3][4]中结合实例探究了同余性质在检验和判断整除问题、求余数、解同余方程、求M进制中的某位数等方面的具体应用.在教学过程中，讲同余式的性质时适当地解释这些推广和应用不但可以激发学生的积极性，提高学生的发散思维能力，还可以帮助学生拓宽解题思路，培养学生分析和运用方法的能力.
　　 参考文献：
　　 [1]潘承洞.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.
　　 [2]宋开福.初等数论[M].北京：中国戏剧出版社，2007.
　　 [3]柯召.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，1987.
　　 [4]李复中.初等数论选讲[M].北京：北京师范大学出版社，1984.
　　◎编辑 张 慧

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