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浅谈一道代数题的一题多解

2021-11-10  |  所属栏目: 来稿选登  |  阅读次数: 

本文作者:余国胜 发表期数:现代职业教育 2021年36期 本文字数:3025

  [摘           要]  用四种不同的方法给出了一道代数题的解法,能够帮助学生进行发散性思维,加深对所学知识的理解和运用,达到触类旁通、举一反三的目的.
  [关    键   词]  上三角形矩阵;逆矩阵;一题多解
  [中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603(2021)36-0158-02
   本文讨论一道代数题:上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.运用四种不同的方法证明这样的结论,启发学生在寻找不同解法的过程中深化对书本知识的理解和认识.通过一题多解,可以提高学生对所学知识的领悟力,有效激发学生的发散性思维,提升综合解决问题的能力.具体来说:B=(bij)是上三角形矩阵,设C=(cij)是它的逆矩阵,则C是上三角形矩阵.
   一、四种不同的证明
   方法1.直接按定义求
   考查BC=E的第j列的第j+1,j+2,...n个元素,则有
   bj+1,1c1j+bj+1,2c2j+…+bj+1,,jcjj+bj+1,j+1cj+1,j+bj+1,j+2cj+2,j+…+bj+1,ncnj=0,
   bj+2,1c1j+bj+2,2c2j+…+bj+2,j+1cj+1,j+bj+2,j+2cj+2,j+…+bj+2,ncnj=0,
   …
   bn-1,1c1j+bn-1,2c2j+…+bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=0,
   bn1c1j+bn2c2j+…+bn,n-1cn-1,j+bnncn,j=0.
   由于i>j时,bij=0,即bnj=…=bj+1,j=0.故有
   bj+1,j+1cj+1,j+bj+1,j+2cj+2,j+…+bj+1,n-1cn-1,j+bj+1,ncnj=0,
   bj+2,j+2cj+2,j+…+bj+2,n-1cn-1,j+bj+2,ncnj=0,
   …
   bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=0,
   bnncn,j=0.
   B是可逆的上三角形矩阵,B=b11b22…bnn≠0.所以bii≠0,i=1,2,…,n.要证明C是上三角形矩阵,只需验证任意j<n时,cj+1,j=cj+2,j=…=cn-1,j=cnj=0.从前面的等式组中的最后一个式子出发,这时bnn≠0,则cnj=0.则倒数第二个式子就变为
   bn-1,n-1cn-1,j+bn-1,ncn,j=bn-1,n-1cn-1,j=0.
   由bn-1,n-1≠0得cn-1,j=0.这样从后面式子到前面式子可依次推出
   cnj=cn-1,j=…=cj+1,j=0.
   所以对任意i>j,有cij=0,即C是上三角形矩阵,后面的三种方法都需要借助下面的引理:
   引理:两个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵.
   证明:设B=(bij),C=(cij)均为上三角形矩阵,即当i>j时有bij=cij=0,令A=BC=(aij),证明当i>j时有aij=0.
   aij=bi1c1j+bi2c2j+…+bi,i-1ci-1,j+biicij+…+bincnj.
   它的前i-1项中有
   bi1=bi2=…=bi,i-1=0.
   而后面的项中有cij=…=cnj=0,因此它的每一项皆为零,故当i>j时有aij=0.
   方法2.用分块运算和数学归纳法证明
   对n作数学归纳法,n-1显然成立.设对于n-1阶上三角形矩阵的逆矩阵结论成立,对n阶上三角形矩阵B来证明它的逆也是上三角形的,将B写成如下的分块矩阵:
   B=b11 β0  B1,
   其中b11≠0,B1是n-1阶上三角形可逆矩阵,由归纳假设,B1-1仍是上三角形的.作如下乘积
   b11-1  0 0   B1-1b11  β 0  B1=1 b11-1β0 En-1,
   1 -b11-1β0  En-11 b11-1β0 En-1=1  00 En-1=En,
   于是
   B-1=1 -b11-1β0  En-1b11-1  0 0   B1-1.
   上面兩个矩阵皆为上三角形矩阵,根据引理,B1-1仍是上三角形的.
   方法3.用线性变换的思想
   由于B是上三角形可逆矩阵,则b11≠0,则可以通过若干次初等列变换使得
   b12=b13=…=b1n=0.
   初等列变换相当于右乘了一个上三角形初等矩阵.此时所得矩阵b22≠0,则可以通过若干次初等列变换使得
   b23=b24=…=b2n=0.
   …
   依次类推通过一系列初等列变换可以把A变为对角矩阵,最终变为单位矩阵,由引理,B-1仍是上三角形的.
   方法4.用哈密顿-凯莱定理
   设B是一个上三角形可逆矩阵,f(λ)=λE-B是B的特征多项式,则
   f(B)=Bn-(b11+b22+…+bnn)Bn-1+…+bB+(-1)nBE=0.
   即B(Bn-1-(b11+b22+…+bnn)Bn-2+…+bE)=(-1)n+1BE.
   由于B≠0,再根据引理
   B-1=(Bn-1-(b11+b22+…+bnn)Bn-2+…+bE).
   二、结论
   本文从定义、数学归纳法、线性变换和哈密顿-凯莱定理证明了上三角形矩阵的逆矩阵仍为上三角形矩阵.由此可见,掌握一题多解有助于线性代数的概念的理解和运用.因此,教师在线性代数教学中,应该有针对性地对学生进行一题多解的专项训练.
   参考文献:
   [1]王萼芳,石生明.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2019.
   [2]王萼芳,石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京:高等教育出版社,2007.
   [3]高云峰,杨丽娟.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2015.
   [4]王侃民.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2005.
  ◎编辑 鲁翠红

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