循环矩阵的某些性质及应用

2022-01-09 | 所属栏目: 来稿选登 | 阅读次数:

本文作者：廖嫒嫒发表期数：现代职业教育 2021年49期本文字数：2817

　　[摘要] 循环矩阵是一类很重要的矩阵，它被普遍用于许多领域。给出并证明循环矩阵的一些性质，并提供了一些关于循环矩阵的行列式的求法。进而讨论推广的循环矩阵，即r-循环矩阵，利用相似方法，也给出了r-循环矩阵的行列式的求法。
　　[关键词] 循环矩阵;循环行列式;r-循环矩阵
　　[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）49-0092-02
　　一、引言
　　美国学者Muir.T.在1885年初次提出循环矩阵的观念。直到1950年以前，对于循环矩阵的钻研还没有引发数学工作者的特别注意。1950年以来，随着现代科学技术的发展，人们发现循环矩阵在实际中有很多应用，如在编码理论、数理统计、结构计算、数学图像管理、石油勘探等方面应用很廣。因此，近年来各数学工作者对于循环矩阵的研究较为热烈。本文介绍了n阶循环矩阵的性质及证明，并利用相关性质来求得其行列式的值和线性方程组的解的方法，n阶r-循环矩阵类似。循环行列式的计算方法极为奇妙，也很有代表性，研讨它们的计算方法，可让复杂的线性方程组简单化，从而大大减少了方程组的计算量。
　　二、循环矩阵
　　（一）循环矩阵的概念
　　定义1 复数域上n阶矩阵
　　Aa0 a1 … an-1an-1 a0 … an-2… … … …a1 a2 … a0
　　为n阶循环矩阵，或轮回矩阵，简记为A=C（a0，a1，…，an-1）。
　　定义2
　　D=0 1 0 … 0 00 0 1 … 0 0… … … … … …0 0 0 … 0 11 0 0 … 0 0 （1）
　　则D亦是循环矩阵，称为基础循环矩阵。
　　定义3 n阶矩阵A是一个循环矩阵，明显D，D2，…，Dn-1，Dn=I=D0（n阶单位矩阵）都是循环矩阵，且
　　A=a0I+a1D+a2D2+…+an-1Dn-1
　　其中f（x）=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1，则A=f（D）。
　　（二）循环矩阵的性质及应用
　　 1.循环行列式的性质
　　定义4 形如
　　A=a1 a2 a3 … anan a1 a2 … an-1an-1 an a1 … an-2… … … … …a2 a3 a4 … a1
　　的行列式称为n阶循环行列式，简记为A=a1，a2，a3，，…，an。
　　 2.循环行列式的实际计算
　　例1 计算
　　 Dn=1 2 3 … n-2 n-1 nn 1 2 … n-3 n-2 n-1n-1 n 1 … n-4 n-3 n-2n-2 n-1 n … n-5 n-4 n-3… … … … … … …3 4 5 … n 1 22 3 4 … n-1 n 1
　　解Dn=■1 2 3 … n-2 n-1 n1 1 2 … n-3 n-2 n-11 n 1 … n-4 n-3 n-21 n-1 n … n-5 n-4 n-3… … … … … … …1 4 5 … n 1 21 3 4 … n-1 n 1

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