向量具有代数和几何的双重身份，融数形于一体。而解析几何是将数与形结合在一起，故向量与解析几何有着密切的联系。而解析几何用常规解法往往运算比较繁琐，运用向量作为工具可起到化难为易，化繁为简的效果，使学生开拓思路，减轻负担。下面就几个方面看看向量在解析几何中的应用。 
　　一、向量和差运算与线段中点的结合 
　　例1.设A，B是抛物线y2=2x+8上两点，O为坐标原点，且 = ，点P的坐标为（0，1），求直线AB的斜率。 
　　解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1= ，∴x2= ， 
　　∵ = ，∴P是AB的中点，∴y1+y2=2 
　　kAB= = = =1 
　　∴直线AB的斜率为1。 
　　二、向量的数乘与垂直的结合 
　　例2.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2上的一点，求过点M的圆的切线方程。 
　　解：设切线上除点M外另一点P（x，y） 
　　则OP⊥MP，∴ · =0 
　　=（x，y）， =（x-x0，y-y0） 
　　∴x（x-x0）+y（y-y0）=0，整理得xx0+yy0=r2 
　　故所求切线方程为xx0+yy0=r2。 
　　此方法避免了讨论切线斜率是否存在的情况，使求解过程大大简化。 
　　三、向量的数乘与夹角的结合 
　　例3.已知直线l1∶y=- +1，l2∶x-y+2=0，求l1与l2的夹角。 
　　解：l1的方向向量 =（1，- ），l2的方向向量 =（1，1） 
　　· =1- ， · =2 
　　cos ， = = 
　　∴l1与l2的夹角为θ=arccos 。 
　　例4.双曲线 - =1（a>0，b>0）的离心率e= ，点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B（0，b），求∠ABF的大小。 
　　解：A（-a，0），F（c，0） =（-a，-b）， =（c，-b） 
　　e= = ？圯c= 
　　· =-ac+b2=-ac+c2-a2=a2（e2-e-1） 
　　=a2 2- -1=0 
　　∴ ⊥ ，故BA⊥BF，∴∠ABF=90°. 
　　四、向量的数乘与坐标取值范围的结合 
　　例5.椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围。 
　　解：F1（- ，0），F2（ ，0），设P（3cosθ，2sinθ） 
　　=（- -3cosθ，-2sinθ）， =（ -3cosθ，-2sinθ） 
　　· =9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0 
　　∴- <cosθ< 　　∴P点横坐标的取值范围为（- ， ）。 

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