摘 要：代数与几何问题的相互转化，是中学数学学习与研究中运用广泛、意义深刻的一种思维方法。借助几何直观研究代数问题，会使问题直观形象，解法灵活简便。以高中数学一些重要的不等式的几何直观为例，体现几何直观在数学学习与研究中的重要作用。 
　　 关键词：不等式;几何直观;高中数学 
　　 不等式是高中数学教学中的重要内容，不等式的证明是高中数学的一个难点，也是历届高考中的热点问题。新课程标准把不等式设置为专题选讲内容，对本专题的设计特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，注重让大多数学生通过不等式的几何背景理解数学思想、认识数学本质，强调了不等式的几何直观，而淡化了证明不等式中比较复杂或过于技巧化的方法。 
　　 每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述，，代数公式的几何直观，给原本抽象的代数式赋予更本质、更易于理解和记忆的意义，也体现了数学中最重要也是最基本的思想方法之一——数形结合，体现了数学的本质特征。美国数学家斯蒂思曾说：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。法国数学家G.绍盖曾说：一堆没有实验和直观所支持的定义，不能开发智力，而只能关闭思路。直观是创造活动和几何学之间的连杆，思维想象则是另一重要连杆。可见几何直观在数学学习与研究中的广泛应用和重要作用。 
　　 不等式的几何直观为解题提供思路和方法，帮助学生深刻理解、记忆代数公式的有效途径，是证明不等式的简捷方法。 
　　 一、绝对值不等式：a+b≥a+b≥a-b 
　　<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕1.tif>[图1][a+b][b][a][a][b][a+b][a+b][b][a][C][A][B][C][A][B][C][A][B] 
　　 在△ABC中，BC=a，AB=b由向量关系，AC=a+b，则由三角形三边关系定理AB+BC>AC，即：a+b>a+b;BC-AB<AC，即：a-b<a+b。 
　　 当点B在线段AC上时有a+b=a+b; 
　　 当点A在线段BC上时有a+b=a-b。 
　　 二、“浓度”不等式：>（0<a<b，c>0） 
　　 如图2，点A，B的坐标分别为（b，a），（b+c，a+c），且满足0<a<b，易得直线OA的斜率kOA=，直线OB的斜率kOB=，由图示显然有：kOB>kOA，即>。 
　　<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕2.tif>[图2][A][B][O][x][a][b][c][y][c] 
　　 三、均值不等式：≥（a>0，b>0） 
　　 如图3，易得正方形ABCD的面积大于四个直角三角形的面积，得到不等式：a2+b2>2ab，当直角三角形变为等腰三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一点，这时有a2+b2=2ab。如果a>0，b>0，用，分别代替a，b，则有a+b≥2，即≥（a>0，b>0）。 
　　<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕3.tif>[A][B][C][a][b][图3][D][F][G][H][E] 
　　 在图4中，AB为圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE。易证△ACD～△DCB，因而CD=.由CD小于等于圆的半径OD，即得≤，当且仅当点C与圆心O重合，即a=b时等号成立。 
　　<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕4.tif>[b][O][a][D][E][图4][C][B][A] 
　　 在图5中，设C，E为直线y=x上坐标为（a，a），（b，b）的两点，并考虑点A（0，a），B（b，0），D（b，a）。易得△BOE的面积SBOE=，△AOC的面积SAOC=，考察矩形AOBD，它的面积SAOBD=ab，易看出它被△BOE与△AOC完全覆盖，因此SAOC+SBOE≥SAOBD，即有a2+b2≥2ab，若a>0，b>0，用，分别代替a，b，则有：≥（a>0，b>0）。当且仅当△CDE的面积为零时，即C与E重合，因而a=b时，等号成立。 
　　 四、调和不等式：≤≤≤ 
　　 即调和中项≤几何中项≤算数中项≤均方根 
　　 梯形ABCD中，AB=a，CD=b，O为对角线交点，GH为梯形的中位线，KL是平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLCD成相似的线段，EF为过O点且平行于两底的线段，MN是平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段。易得GH=;由于梯形ABLK∽梯形KLCD，则有=，即=，得KL=;由=，=，易知：=，故=，则EO=OF=EF，又由===1-，和=，得到=1-，这样EO==，从而EF=2EO=;设MN=x，并设h1，h2分别是组成梯形的两个不规则的四边形的高，因此h1+h2是梯形ABCD的高，于是有： 
　　·h1= 
　　· 
　　（h1+h2） 
　　·h2= 
　　· 
　　（h1+h2）， 
　　 此方程组当且仅当x2=时有一个解，即x==MN，由图得：EF<KL<GH<MN，从而<<<。 
　　 当且仅当梯形ABCD为平行四边形时，即a=b时，EF，KL，GH，MN重合，即有===。 
　　 五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 
　　 如图7所示的三角形，易得OP=，OQ=，PQ=。由三角形余弦定理，PQ2=OP2+OQ2-2OP·OQ·cosθ，将OP，OQ，PQ的值代入，并化简，得到：cosθ=，由0≤cos2θ≤1得到cos2θ=≤1，于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

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