在高中数学中，导数的几何意义是从“形”的角度对导数本质的定性解释，它在解决某些函数问题时能起到重要作用.本文将从以下两个角度探究导数几何意义的应用. 
　　一、导数几何意义的应用 
　　导数f ′（x0）从代数上表示函数f （x）在x=x0处的瞬时变化率，其几何意义是曲线y=f （x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.因此，我们可以利用导数求切线的斜率，也可将导数转化为切线的斜率. 
　　【例1】（2014北京大兴一模文）给出下列函数：①f （x）=[x][]；②f （x）=x2；③f （x）=2x；④f （x）=log2x.则满足关系式f ′（2）>f（3）-f（2）>f′（3）的函数的序号是 . 
　　【解析】f′（2），f′（3）可分别看作函数y=f （x）在点（2，f（2）），（3，f（3））处切线的斜率，f（3）-f（2）=可看作连接（2，f（2）），（3，f（3））两点直线的斜率. 
　　易知，①④函数图象具有共同特点：图象在（0，+∞）上都是递增且向上凸的，如图1所示；②③函数图象具有共同特点：图象在（0，+∞）上都是递增且向下凸的，如图2所示（其中l1表示函数在点（2，f（2））处的切线，l2表示连接（2，f（2）），（3，f（3））两点的直线，l3表示函数在点（3，f（3））处的切线）： 
　　[l3][l2][l1][y][x][O][（3，f（3））][（2，f（2））] [（3，f（3））][（2，f（2））][l1][l2][l3][x][y][O] 
　　图1 图2 
　　直线的斜率k和倾斜角θ的函数关系为k=tanθ（0≤θ<π且θ≠），其在（0，）上单调递增.在图1中，l1，l2，l3三条直线倾斜角θ1，θ2，θ3均为锐角，且θ1>θ2>θ3，所以[k][l1]>[k][l2]>[k][l3]，即f ′（2）>f（3）-f （2）>f′（3）；在图2中，l1，l2，l3三条直线倾斜角θ1，θ2，θ3均为锐角，且θ1<θ2<θ3，所以[k][l1]<[k][l2]<[k][l3]，即f ′（2）<f（3）-f （2）<f′（3）.="" 　　所以答案为②③. 
　　【评注】由本题可以看出，导数的本质可从数和形两个角度理解，数的角度理解为瞬时变化率，形的角度理解为切线的斜率。在数学教学中，既要帮助学生从两个角度准确理解导数的本质，又要引导学生将数和形结合起来，能灵活地进行转化。 
　　二、导数几何意义在运动变化问题中的应用 
　　导数f ′（x0）的几何意义是曲线y=f （x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.它可以理解为一个运动变化过程中的一个极限，即当点P（x，f（x））沿着曲线f （x）趋向于点P0（x0，f（x0））时，割线PP0趋近于确定的位置，即y=f （x）在点（x0，f（x0））处切线，而割线的斜率趋近于y=f （x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率f ′（x0）.因此导数的几何意义可以帮助我们解决某些图形中的运动变化问题. 
　　【例2】（2014年高考北京卷理数）已知函数f （x）=xcosx-sinx，x∈[0，]， 
　　（1）求证：f （x）≤0； 
　　（2）若a<<b在（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值. 　　【说明】对于本题只解析第（2）问，并且方法更适合解决填空题. 
　　【解析】=可看做过点P（x，sinx）和原点O（0，0）的直线的斜率，其中P（x，sinx）为函数y=sinx（0<x<）图象上一点，如下图： 　　[P2][x][y][O] [P1][P0][][1] 
　　由图可知，当P（x，sinx）从O移动到P0时，kPO=逐渐减小，一方面，易知[k][P0]O=，所以kPO=>[k][P0]O=；另一方面，当P逐渐接近O，，即x→0时，割线PO逐渐接近于y=sinx在O（0，0）处的切线，由导数的几何意义可知，kPO=逐渐增大到y=sinx在O（0，0）处切线的斜率[（sinx）′] [x=0]=cos0=1，所以kPO=<1. 
　　综上所述，<<1.又因为a<<b在（0，）上恒成立，所以a≤且b≥1，即amax=且bmin=1. 　　【评注】由此题可知，在高中数学教学中，不但要引导学生从数和形两个角度理解导数的概念，还要帮助学生经历概念的形成过程，即从平均变化率到瞬时变化率的极限过程，也是从割线到切线的极限过程，这都是运动变化的过程。 
　　综上所述，导数作为高中数学中的一个重要概念，教师要帮助学生从数和形两个角度理解其本质，并要重视在数和形两个方面概念的形成过程。 

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